3 Nisan 2011 Pazar

Trigonometrinin Tarihi Ve Önemli Noktaları


Trigonometri nedir;
Üçgenlerin kenar ve açılarının hesap yolu ile çözümünü konu edinen matematik dalıdır. Üçgenlerin 6 elemanı arasındaki (3 ü açı 3 ü kenar) arasındaki bağıntıları ele alır. Bir üçgenin 6 elemanından az biri kenar olmak üzere 3 ü bilindiğinde diğer elemanları hesaplayabiliriz. Bulunan sonuçlar çok kenarlı şekiller içinde hesaplama sağlar. Bunun için trigonometrik fonksiyonlarda yararlanır.


Geometride ise verilen elemanlar kullanılarak çizim yapılır. Bilinmeyen elemanların sayı değerlerini, uzunlukları cetvelle, açıları iletki  ile ölçerek bulabiliriz. Bu ise çok büyük ve çok küçük uzunlukların veya açıların hesaplanmasında doğru sonuca ulaşmayı zorlaştırır.


Bu durumda geometri ile trigonometri çözüm yolları bakımından ayrılır. Trigonometride şeklin diğer elemanlarını hesap yoluyla bulabilmek için; açı ile uzunluklar arasındaki bağıntıların bilinmesi gerekir.


Geçmişten Geleceğe Trigonometri ve tarihi


17. yy da cebirsel gösterimlerle matematiğe giren Trigonometrinin kökeni oldukça eskidir. İ.Ö 2000 li 3000 li yıllarda hesaplamalarda kullanılmaya başlanmştır. Örneğin; Mezopotamya'da Babilliler, daireyi astronomi bilimi ile ilgili olarak 60 'a bölmüşler bir yılda 360 gün olduğunu hesaplamışlardır. Mevsimlerin tekrarı da bu period içinde gerçekleşir.


Eski Mısır 'da da trigonometri astronomi (güneş saati) ve arazi hesaplamalarında (haritacılık) rol oynamıştır. Ahmes papirüsünde (İ.Ö 1550) piramitlerin ölçümüyle ilgili beş problemin çözümünde kullanılmış fakat adı trigonometri olarak ifade edilmemiştir.


İlk çağlarda yapılan çalışmalarda;


Yunan bilgini Astronom Hipparchus bir kiriş cetveli kullanmıştır. Menelaos Küresel Trigonometri alanında Hipparchus 'un çalışmalarını genişletmiştir. İskenderiyeli Ptolémee 'nin büyük eseri ALMAGEST 'te yaptığı çalışmaları yazmıştır.


Anaximander 'in (İ.Ö 575) i güneş saatini Isparta 'da yaptığı söylenir.


Thales (İ.Ö 650 - Söke-Milet) ölçümlerinde trigonometriden yararlanmıştır.


Yunanlılar hesaplamalarda kirişden yararlanıyorlardı. Hintliler bunun yerine (sinüs) kullanmışlardır. Sinüs kelimesi, sanskritçe kelimenin arapçaya yanlış tercümesi ve daha  sonra 12. yy. da Tivolili Plato tarafından latinceye aynen çevrilmesi sonucu oluşmuştur. Cosinüs ise 15. yy ortalarında kullanır hale gelmiştir.


9. yy da Arap bilgin El Battani, batıya sinüsü tanıtmış, tanjant, kotanjant fonksiyonlarını ve küresel üçgendeki kosinüs teoremini bulmuştur. 9. yy da aynı şekilde Ebulvefa, tanjant cetvelini hazırlamıştır.


13. yy da trigonometri İranlı bilgin Nasiriddin-i Tusi ile bir bilim dalı haline gelir. 15. yy da bu çalışmaları benzer olarak Regiomonatus yapmaya başlar.


Fransız matematikçi Viete küresel üçgendeki bilgileri kutupsal üçgene uygulamış ve sin, cos yı ifade etmiştir.


17. yy da logaritmanın icadı ile hesaplamalar kolaylaşır.


18. yy da Euler Trigonometri formüllerinin yazılış ve kuruluşuna katkı yapar. Örneğin; Üçgenin kenarlarının a , b , c ile ; açılarının A , B , C ile gösterilişi ona aittir.


Daha sonraları Lambert, Lagrange, Gauss, Bessel ve bir çok bilim adamı önemli katkılarda bulunurlar.

Trigonometri kulanım alanları.


Trigonometriyi kullanan bazı dallar şunlardır: jeofizik, kristalografi, ekonomi (özellikle de finansal pazarların analizinde), elektrik mühendisliği, elektronik, jeodezi, makine mühendisliği, meteoroloji, müzik kuramı, sayı kuramı (ve dolayısıyla kriptografi), oşinografi (okyanus bilimi), farmakoloji (eczacılık), optik, fonetik, olasılık kuramı, psikoloji, sismoloji... kullanılmaktadır. Birçok kişi tarafından sadece matematikte hesaplama olarak görülen trigonometri, uygulamaları astronomide görülmekle beraber fizik, meteoroloji,uçak yapımı ve uçakların yol alışları, .. gibi birçok alanda kullanılmaktadır.  trigonometrinin sadece matemetikle sınırlı olmadığı, birçok alanın, yapının temelini ve hatta yaşamımızı oluşturduğunu göstermektir. Günümüzde dünya harikaları arasında sıralanan Mısır Piramitleri, Pisa Kulesi,... ayrıca merdiyenler ve uzay hesaplamalarında da birçok kullanım alanı vardır.

Şekil: 1.1
Düzlemsel trigonometri aslında her tür  düzlemsel üçgen için geçerli olmakla birlikte, bağıntılar genellikle dik üçgenlerde tanımlanır. Açılarından biri (x) 0° ile 90° arasında olan bir dik üçgenin (düzlemsel bir üçgende iç açıların toplamı 180° olduğu için) öteki açısı 90-x'e eşittir. Böyle bir üçgende dik açının karşısındaki kenar |OD| hipotenüs, O 'nun karşısındaki kenar |CD| karşı kenar, |OC| 'ya komşu olan kenar ise komşu kenar olarak adlandırılır. Bu kenarlar birbirlerine ikişer ikişer altı farklı biçimde oranlanabilir, böylece A açısının trigonometrik fonksiyonları tanımlanmış olur.
Açı
Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir.
[OA ve [OB ışınlarına açının kenarları, O noktasına ise açının köşesi denir.




Birim (trigonometrik) çember
Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember veya trigonometrik çember denir. Birim çemberin denklemi x2 + y2 = 1 şeklindedir.
Birim çemberde verilen bir \ P(x,y) noktası;

  • 1.bölgede \ x > 0 , y > 0
  • 2.bölgede \ x < 0 , y > 0
  • 3.bölgede \ x < 0, y < 0
  • 4.bölgede \ x > 0, y < 0 dır.
  • Açıyı ölçmek demek, açının kolları arasındaki açıklığı belirlemek demektir.
Bazı açı ölçü birimleri şunlardır;
DERECE: Bir tam çember yayının 360 eş parçaya bölünmesiyle elde edilen her bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir.
GRAD: Bir tam çember yayının 400 eşit parçaya bölünmesiyle elde edilen her bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 grad denir.
RADYAN: Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir. Çember yayının ölçüsü \ 2\pi radyandır ve radyanla çarpılarak bulunur.


Sarma fonksiyonu
Gerçel sayılar kümesinden birim çember üzerindeki noktalara tanımlanan fonksiyona sarma fonksiyonu denir.
Sarma fonksiyonunu s ile, birim çemberi de C ile gösterirsek fonksiyon

\ s:\mathbb{R}\to C
şeklinde yazılabilir ve \ s(x)=P oldugunda \ s(x+ 2k \pi ) = P olur. Başka bir deyişle, sarma fonksiyonu, gerçel sayılar üzerinde dönemi (periyodu) olan bir fonksiyondur.
Şekil: 1.2


Bir açının esas ölçüsü


a) Verilen açı \ 0 < x < 360 ya da \ x = 0 , x = 360 ise;
\ x in esas ölçüsü kendisidir.
b) Verilen açı \ x > 360 ya da \ x = 360 ise;
\ x in 360 a bölümünden kalan esas ölçüyü verir.
c) Verilen açı \ x < 0 ise;
\ -x 360 a bölümünden kalan \ y olsun.
O halde, \ x in esas ölçüsü \ 360 - y dır.

Trigonometrik fonksiyonlar
Aşağıdakiki resimdeki gibi verilmiş bir ABC üçgeninde


Dosya:Trigonometry triangle 2.svg
















olarak adlandırılır.
Bu tanımlardan görülebileceği gibi, bu fonksiyonlar arasında,

\tan\ x = \frac{\sin\ x}{\cos\ x}
\cot\ x = \frac{1}{\tan\ x} = \frac{\cos\ x}{\sin\ x}
\sec\ x = \frac{1}{\cos\ x}
\csc\ x = \frac{1}{\sin\ x}
{\cos^2\ x} + {\sin^2\ x} = 1 (Pisagor teoremi)

{\tan^\ x} . {\cot^\ x} = 1
ilişkileri vardır.

Dik üçgenlerde bazı açıların trigonometrik oranları

\ 0\ 30 =\pi /6\ 45 =\pi /4\ 60 =\pi /3  \ 90 =\pi /2\ 180 =\pi \ 270 =(3/2)\pi
\sin\ x \ 0 \ 1 / 2 \sqrt 2 / 2\sqrt 3 / 2\ 1 \ 0 \ -1
\cos\ x \ 1\sqrt {3} / 2 \sqrt {2} / 2\ 1/ 2\ 0 \ -1 \ 0
\tan\ x \ 01 / \sqrt {3} \ 1 \sqrt {3} tanımsız\ 0 tanımsız
\cot \ x tanımsız\sqrt{3} \ 1 \ 1 / \sqrt{3} \ 0 tanımsız\ 0

11 yorum:

  1. işime yaradı teşekkür ederim.♥

    YanıtlaSil
  2. işime yaradı teşekkür ederim.♥

    YanıtlaSil
  3. Odevimde cok yardimci oldu, ellerinize saglik cok guzel olmus arkadaslarr������

    YanıtlaSil
  4. Çok saol baya yardımı oldu sen olmasan 9. sınıfı geçemiyecez .D

    YanıtlaSil
  5. cok teşekkürler slayt çalışmam için bilgilerden yararlandım. Ellerinize sağlık.

    YanıtlaSil
  6. anladığım kadarıyla pisagor teoremi bütün sonuçların eşit olduğunu söylüyor.yorumumu gözden geçirip düzeltme yaparsanız sevinirim

    YanıtlaSil
  7. bütün sonuçlar birbirine eşit yeni bir förmül icat edip paylaşırsanız yeni bir förmül keşfedeblirsiniz

    YanıtlaSil